Les nombres premiers
12 n'est pas un nombre premier car il
peut s'écrire sous la forme d'un produit de deux autres nombres entiers
différents. 12 = 2 X 6 = 3 X4
Pour certains nombres
entiers cela n'est pas possible. Ce sont les nombres premiers :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; ……
En effet 7 ne peut
s'écrire que 1x7 ou 7x1. De même : 19=1x19=19x1.
Vous pouvez vous amuser à
continuer la liste des nombres premiers jusqu'à 100 ; 1000 ou 10 000. Mais quel
travail ! Et est- on sûr que 2 000 999 est premier ou non ?
Eratosthène imagina une
méthode simple qui consiste à trier, "passer au crible", tous les
nombres entiers en se servant d'un tableau.
Remarquons que 1 n'est pas un nombre premier 1 = 1x1 c'est bien un produit mais pas de
deux entiers différents.
La définition habituelle des nombres
premiers est un peu différente de celle- ci :
On appelle nombre premier tout nombre entier qui
a deux diviseurs entiers 1 et lui- même.
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LE CRIBLE .
OU COMMENT TROUVER TOUS LES NOMBRES PREMIERS.
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Pour établir la liste des nombres premiers jusqu'à 100,
remarquons qu'il suffit de procéder par élimination.
1- On garde 2 qui est premier. Puis on barre tous les
multiples de 2 qui se trouvent dans la liste.
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
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21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
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31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
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41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
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51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
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61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
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71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
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81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
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91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
2- On s'aperçoit que beaucoup de nombres sont
éliminés. On recommence alors avec les multiples de 3 puis ceux de 5 ( pour les
multiples de 4, ce n'est pas la peine, ils ont déjà été barrés car ce sont des
multiples de 2 ! )….
3- Ce ne sera pas nécessaire d'aller au delà de 7.
En effet si nous cherchons les multiples de 11 qui restent dans le tableau,
ceux-ci doivent s'écrire 11x n avec le nombre n qui doit être inférieur à 11 car
11x11 = 121. S'il y en avait un, le nombre n devrait être inférieur à 11 et il aurait été trouvé
avant.
4- On barre donc dans le tableau les multiples de 2,
de 3, de 5, puis de 7.
Il restera alors les nombres premiers inférieurs à 100.
Cela nous donne donc le tableau avec les nombres premiers en rouge :
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
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11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
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21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
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31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
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41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
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51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
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61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
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71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
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81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
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91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
Cette méthode a ses
limites, elle ne nous permet pas de savoir rapidement si 1999 est un nombre
premier… et pour 19 999 , vous pouvez essayer de chercher ! Avec votre
calculatrice bien sûr !
Un autre problème est de savoir fabriquer un
nombre premier :
2x3x5x7 +1 = 211 est- il premier ? et 2x3x5x7x11x13+1= ?
Bon courage et pensez à
utiliser votre calculatrice… pauvres ancêtres qui devaient faire tous ces
calculs à la main !